Grafos

Ejercicios de grafos

Grafos

En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen)¹​ es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binariasentre elementos de un conjunto.²​ Son objeto de estudio de la teoría de grafos.

Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas).

Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas).

Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales.

Historia y problema de los puentes de Königsberg

El primer artículo científico relativo a grafos fue escrito por el matemático suizo Leonhard Euler en 1736. Euler se basó en su artículo en el problema de los puentes de Königsberg. La ciudad de Kaliningrado, originalmente Königsberg, es famosa por sus siete puentes que unen ambas márgenes del río Pregel con dos de sus islas. Dos de los puentes unen la isla mayor con la margen oriental y otros dos con la margen occidental. La isla menor está conectada a cada margen por un puente y el séptimo puente une ambas islas. El problema planteaba lo siguiente: ¿es posible dar un paseo comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando por todos los puentes, recorriendo solo una vez cada uno y regresando al mismo punto de partida?

Abstrayendo este problema y planteándolo con la (entonces aún básica) teoría de grafos, Euler consigue demostrar que el grafo asociado al esquema de puentes de Königsberg no tiene solución, es decir, no es posible regresar al vértice de partida sin pasar por alguna arista dos veces.

De hecho, Euler resuelve el problema más general: ¿qué condiciones debe satisfacer un grafo para garantizar que se puede regresar al vértice de partida sin pasar por la misma arista más de una vez? Si definimos como «grado» al número de líneas que se encuentran en un punto de un grafo, entonces la respuesta al problema es que los puentes de un pueblo se pueden atravesar exactamente una vez si, salvo a lo sumo dos, todos los puntos tienen un grado par.

Definiciones

Un grafo ${\displaystyle G}$ es un par ordenado ${\displaystyle G=(V,E)}$, donde:

• ${\displaystyle V}$ es un conjunto de vértices o nodos, y
• ${\displaystyle E}$ es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos.

Normalmente ${\displaystyle V}$ suele ser finito. Muchos resultados importantes sobre grafos no son aplicables para grafos infinitos.

Se llama orden del grafo ${\displaystyle G}$ a su número de vértices, ${\displaystyle |V|}$.

El grado de un vértice o nodo ${\displaystyle v\in V}$ es igual al número de arcos que lo tienen como extremo.

Un bucle es una arista que relaciona al mismo nodo; es decir, una arista donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

Dos o más aristas son paralelas si relacionan el mismo par de vértices.

Grafo no dirigido[editar]

Grafo no dirigido

Un grafo no dirigido o grafo propiamente dicho es un grafo ${\displaystyle G=(V,E)}$ donde:

• ${\displaystyle V\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle E\subseteq \{x\in {\mathcal {P}}(V):|x|=2\}}$ es un conjunto de pares no ordenados de elementos de ${\displaystyle V\,}$.

Un par no ordenado es un conjunto de la forma ${\displaystyle \{a,b\}}$, de manera que ${\displaystyle \{a,b\}=\{b,a\}}$. Para los grafos, estos conjuntos pertenecen al conjunto potencia de ${\displaystyle V}$, denotado ${\displaystyle {\mathcal {P}}(V)}$, y son de cardinalidad 2.

Grafo dirigido

Grafo dirigido

Artículo principal: Grafo dirigido

Un grafo dirigido o digrafo es un grafo ${\displaystyle G=(V,E)}$ donde:

• ${\displaystyle V\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle E\subseteq \{(a,b)\in V\times V:a\neq b\}\,}$ es un conjunto de pares ordenados de elementos de ${\displaystyle V\,}$.

Dada una arista ${\displaystyle (a,b)}$, ${\displaystyle a}$ es su nodo inicial y ${\displaystyle b}$ su nodo final.

Por definición, los grafos dirigidos no contienen bucles.

Un grafo mixto es aquel que se define con la capacidad de poder contener aristas dirigidas y no dirigidas. Tanto los grafos dirigidos como los no dirigidos son casos particulares de este.

Variantes sobre las definiciones principales

Algunas aplicaciones requieren extensiones más generales a las dos propuestas clásicas de grafos. Aunque la definición original los permite, según la aplicación concreta pueden ser válidos o no. A veces ${\displaystyle V}$ o ${\displaystyle E}$ pueden ser un multiconjunto, pudiendo haber más de una arista entre cada par de vértices. La palabra grafo (a secas) puede permitir o no múltiples aristas entre cada par de vértices, dependiendo del autor de la referencia consultada. Si se quiere remarcar la inexistencia de múltiples aristas entre cada par de vértices (y en el caso no dirigido, excluir bucles) el grafo puede llamarse simple. Por otra parte, si se quiere asegurar la posibilidad de permitir múltiples aristas, el grafo puede llamarse multigrafo (a veces se utiliza el término pseudografo para indicar que se permiten tanto bucles como múltiples aristas entre cada par de vértices).

Propiedades

• Adyacencia: dos aristas son adyacentes si tienen un vértice en común, y dos vértices son adyacentes si una arista los une.
• Incidencia: una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro.
• Ponderación: corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Esto se usa mucho para problemas de optimización, como el del vendedor viajero o del camino más corto.
• Etiquetado: distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto.

Representación

Las dos representaciones principales de grafos son las siguientes:

• Matriz de adyacencia (MA): Se utiliza una matriz de tamaño n × n donde las filas y las columnas hacen referencia a los vértices para almacenar en cada casilla la longitud entre cada par de vértices del grafo. La celda MA[i, j] almacena la longitud entre el vértice i y el vértice j. Si su valor es infinito significa que no existe arista entre esos vértices, y MA[i, i] = 0.

Matriz de adyacencia

• Lista de adyacencia (LA): Se utiliza un vector de tamaño n (un elemento por cada vértice) donde LA[i] almacena la referencia a una lista de los vértices adyacentes a i. En una red esta lista almacenará también la longitud de la arista que va desde i al vértice adyacente.

Listas de adyacencia

Ejemplos

La imagen es una representación del siguiente grafo:

• V:={1,2,3,4,5,6}
• E:={{1,2},{1,5},{2,3},{2,5},{3,4},{4,5},{4,6}}

El hecho que el vértice 1 sea adyacente con el vértice 2 puede ser denotado como 1 ~ 2.

• En la teoría de las categorías una categoría puede ser considerada como un multigrafo dirigido, con los objetos como vértices y los morfismos como aristas dirigidas.
• En ciencias de la computación los grafos dirigidos son usados para representar máquinas de estado finito y algunas otras estructuras discretas.
• Una relación binaria R en un conjunto X es un grafo dirigido simple. Dos vértices a, b en X están conectados por una arista dirigida ab si aRb.

Grafos particulares

Existen grafos que poseen propiedades destacables. Algunos ejemplos básicos son:

• Grafo nulo: aquel que no tiene vértices ni aristas. Nótese que algunas personas exigen que el conjunto de vértices no sea vacío en la definición de grafo.
• Grafo vacío: aquel que no tiene aristas.
• Grafo trivial: aquel que tiene un vértice y ninguna arista.
• Grafo simple: aquel que no posee bucles ni aristas paralelas. Consultar variantes en esta definición.
• Multigrafo (o pseudografo): G es multigrafo si y solo si no es simple. Consultar variantes en esta definición.
• Grafo completo: grafo simple en el que cada par de vértices están unidos por una arista, es decir, contiene todas las posibles aristas.
• Grafo bipartito: sea ${\displaystyle (W,X)}$ una partición del conjunto de vértices ${\displaystyle V}$, es aquel donde cada arista tiene un vértice en ${\displaystyle W}$ y otro en ${\displaystyle X}$.
• Grafo bipartito completo: sea ${\displaystyle (W,X)}$ una partición del conjunto de vértices ${\displaystyle V}$, es aquel donde cada vértice en ${\displaystyle W}$ es adyacente sólo a cada vértice en ${\displaystyle X}$, y viceversa.
• Grafo plano: aquel que puede ser dibujado en el plano cartesiano sin cruce de aristas.
• Árbol: grafo conexo sin ciclos.
• Grafo rueda: grafo con n vértices que se forma conectando un único vértice a todos los vértices de un ciclo-(n-1).
• Grafo perfecto aquel que el número cromático de cada subgrafo inducido es igual al tamaño del mayor clique de ese subgrafo.

Una generalización de los grafos son los llamados hipergrafos.

Compuertas lógicas

Trabajan en dos estado, “1” o “0”, los cuales pueden asignarse a la lógica positiva o lógica negativa. El estado 1 tiene un valor de 5v como máximo y el estado 0 tiene un valor de 0v como mínimo y existiendo un umbral entre estos dos estados donde el resultado puede variar sin saber con exactitud la salida que nos entregara. Las lógicas se explican a continuación:

• La lógica positiva es aquella que con una señal en alto se acciona, representando un 1 binario y con una señal en bajo se desactiva. representado un 0 binario.
• La lógica negativa proporciona los resultados inversamente, una señal en alto se representa con un 0 binario y una señal en bajo se representa con un 1 binario.

A continuación vamos a analizar las diferentes operaciones lógicas una por una comenzando por la más simple:

Compuerta AND

Esta compuerta es representada por una multiplicación en el Algebra de Boole. Indica que es necesario que en todas sus entradas se tenga un estado binario 1 para que la salida otorgue un 1 binario. En caso contrario de que falte alguna de sus entradas con este estado o no tenga si quiera una accionada, la salida no podrá cambiar de estado y permanecerá en 0. Esta puede ser simbolizada por dos o más interruptores en serie de los cuales todos deben estar activos para que esta permita el flujo de la corriente.

Fig. 2 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta AND.

Compuerta OR

En el Algebra de Boole esta es una suma. Esta compuerta permite que con cualquiera de sus entradas que este en estado binario 1, su salida pasara a un estado 1 también. No es necesario que todas sus entradas estén accionadas para conseguir un estado 1 a la salida pero tampoco causa algún inconveniente. Para lograr un estado 0 a la salida, todas sus entradas deben estar en el mismo valor de 0. Se puede interpretar como dos interruptores en paralelo, que sin importar cual se accione, será posible el paso de la corriente.

Fig. 3 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta OR.

Compuerta NOT

En este caso esta compuerta solo tiene una entrada y una salida y esta actúa como un inversor. Para esta situación en la entrada se colocara un 1 y en la salida otorgara un 0 y en el caso contrario esta recibirá un 0 y mostrara un 1. Por lo cual todo lo que llegue a su entrada, será inverso en su salida.

Fig. 4 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NOT.

Compuerta NAND

También denominada como AND negada, esta compuerta trabaja al contrario de una AND ya que al no tener entradas en 1 o solamente alguna de ellas, esta concede un 1 en su salida, pero si esta tiene todas sus entradas en 1 la salida se presenta con un 0.

Fig. 5 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NAND.

Compuerta NOR

Así como vimos anteriormente, la compuerta OR también tiene su versión inversa. Esta compuerta cuando tiene sus entradas en estado 0 su salida estará en 1, pero si alguna de sus entradas pasa a un estado 1 sin importar en qué posición, su salida será un estado 0.

Fig. 6 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta NOR.

Compuerta XOR

También llamada OR exclusiva, esta actúa como una suma binaria de un digito cada uno y el resultado de la suma seria la salida. Otra manera de verlo es que con valores de entrada igual el estado de salida es 0 y con valores de entrada diferente, la salida será 1.

Fig. 7 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta XOR.

Compuerta XNOR

Esta es todo lo contrario a la compuerta XOR, ya que cuando las entradas sean iguales se presentara una salida en estado 1 y si son diferentes la salida será un estado 0.

Fig. 8 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta XNOR.

Compuerta IF

Esta compuerta no es una muy utilizada o reconocida ya que su funcionamiento en estados lógicos es parecido a si solo hubiera un cable conectado porque exactamente lo que se le coloque en la entrada, se encontrara en la salida. Pero también es conocido como un buffer, en la práctica se utiliza como amplificador de corriente o como seguidor de tensión para adaptar impedancias.

Fig. 9 Tabla, Representación y Fórmula Compuerta IF.